Antes de qualquer coisa faça uma cópia do seu banco de dados mysql, use o mysqldump:

$ mysqldump -u usuario -p nome_do_banco > nome_do_banco_copia.sql
Para enviar o arquivo de copia do banco de dados "nome_do_banco_copia.sql" para outro servidor sem ter que baixa-lo na sua maquina e depois ter que enviar para o outro servidor, só usar sftp/ssh:

$ scp nome_do_banco_copia.sql usuario@outro_server.com:/backup
Recomendo a criação da pasta backup no inicio do servidor a qual quer que receba o backup!

Para executar o backup basta usar:

$ mysql -u usuario -p banco < nome_do_banco_copia.sql
Qualquer dúvida só comentar!